Разработка аналитических и качественных методов исследования свойств решений дифференциальных систем : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ; научный руководитель В.И. Громак

Abstract

Объектом исследования являются двумерные динамические системы, нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения на плоскости с особой точкой типа центра или фокуса, нелинейные дифференциальные уравнения и системы типа уравнений Пенле- ве. Целью научно-исследовательской работы является анализ проблемы центра и фоку- са, проблема предельных циклов и проблемы изохронности для различных классов поли- номиальных систем дифференциальных уравнений на плоскости; исследование аналити- ческих свойств решений нелинейных дифференциальных систем типа уравнений Пенлеве, анализ и конструктивное решение проблемы Римана-Гильберта в случае двумерной си- стемы Фукса с четырьмя особыми точками. Исследования проводились классическими методами аналитической и качественной теории и их модификациями. В результате исследований получены необходимые и достаточные условия того, что особая точка плоской полиномиальной системы Коши-Римана и системы Льенара яв- ляется особой точкой типа центр и изохронный центр. Получен канонический вид обра- тимых кубических систем Жолондека. Проведен анализ проблемы центра и фокуса и про- блемы предельных циклов для кубической системы с девятью и одиннадцатью парамет- рами. Вычислены несколько первых членов асимптотического разложения функции по- следования сложной особой точки для пяти систем, разложения правых частей которых начинаются с мономов третьей степени. Доказано, что если плоская система имеет центр в особой точке, то существование алгебраических инвариантных кривых с определенного вида кофактором дает достаточ- ные условия изохронности центра. Получены новые классы системы с изохронными цен- трами в случае однородных правых частей шестой степени. Получены необходимые и достаточные условия сильной изохронности некоторых гамильтоновых систем. Предложено решение проблемы Римана – Гильберта для линейных систем Фукса с четырьмя особыми точками и с нильпотентными недиагонализируемыми неприводимыми матрицами-вычетами при условии, что две из трех заданных неприводимых нильпотент- ных показательных матриц монодромии перестановочны, а матрица – вычет бесконечно удаленной точки – недиагонализируема. Проведено аналитическое исследование решений нелинейных дифференциальных уравнений, являющихся высшими аналогами уравнений Пенлеве. Получена в явной фор- ме общая структура уравнений иерархии К2, а также получены в явной форме резонанс- ные многочлены и определен характер их корней для уравнений иерархии К2. Построены преобразования Беклунда и получены новые классы алгебраических и трансцендентных решений системы Гарнье с двумя независимыми переменными, обоб- щающей второе и третье уравнение Пенлеве. Результаты могут быть использованы в аналитической и качественной теориях диф- ференциальных уравнений, теории колебаний, при чтении спецкурсов по теории диффе- ренциальных уравнений в Белорусском, Гродненской, Гомельском университетах. Также они могут найти применение при решении задач теоретической и математической физики, при построении математических модулей в теории нелинейных колебаний и квантовой теории поля.