Исследование аналитических и качественных свойств решений нелинейных дифференциальных систем, их анализ и приложения : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ ; научный руководитель В. И. Громак

Abstract

Объектами исследования являются вещественные и комплексные автономные полиномиальные дифференциальные системы, система Фукса, обобщённая иерархия второго уравнения Пенлеве, система Льенара. Целью НИР проекта стало исследование качественных и аналитических свойств решений динамических систем и нелинейных дифференциальных уравнений со свойством Пенлеве, а также их анализ и приложения. Исследования проводились методами аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений, методами матанализа, топологии и их модификациями. Основные результаты работы являются новыми и имеют приоритетный характер. Для вполне разрешимых автономных систем уравнений в полных дифференциалах, а также вполне интегрируемых систем уравнений Пфаффа получены критерии существования изолированных интегральных торов, в случае общего положения изучены свойства продолжимости решений. Представлен новый метод решения проблемы центра и фокуса для аналитических систем с ненулевой линейной частью, позволивший установить критерии существования центра для некоторых общих классов исходных систем. Решена проблема центра и фокуса для одной кубической системы с нильпотентной особой точкой. Доказано существование комплексных полиномиальных кубических систем с фокусом 14-го порядка. Получены критерии изохронности специальных двумерных систем Льенара. На комплексной проективной прямой построено уравнение Фукса с четырьмя заданными конечными особыми точками, фундаментальная матрица решений которого имеет заданные приводимые 2х2-матрицы монодромии. Для уравнений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве изучены локальные свойства решений, преобразования Беклунда и получен критерий существования рациональных решений. Результаты могут быть использованы в аналитической и качественной теориях дифференциальных уравнений, при решении задач теоретической и математической физики, в теории нелинейных колебаний и квантовой теории поля, при чтении спецкурсов по теории дифференциальных уравнений в Белорусском, Гродненской, Гомельском университетах.